7.1 KB · ⇊ 3 parts · ⤓ Micron 7.1 KB · ⤓ HTML 74.7 KB

top

Die geränderte Hesse-Matrix (engl. bordered Hessian) dient zur Klassifikation von stationären Punkten bei mehrdimensionalen Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen. Sie ist mit der „normalen“ Hesse-Matrix verwandt. Im Gegensatz zur Hesse-Matrix, welche auf positive oder negative Definitheit untersucht wird, ist bei der geränderten Hesse-Matrix die Vorzeichenfolge der Determinante von gewissen Hauptminoren entscheidend.

Genauer: Liegen bei einem Extremwertproblem m {\displaystyle m} Nebenbedingungen vor, so betrachtet man die Folge der Vorzeichen derjenigen führenden Hauptminoren von k {\displaystyle k} -ter Ordnung mit k > 2 m {\displaystyle k>2m} .

Untersucht man beispielsweise eine Funktion nach einer Variablen mit einer Nebenbedingung, muss man wegen k > 2 ⋅ ⋅ 1 = 2 {\displaystyle k>2\cdot 1=2} die Vorzeichen bei den führenden Hauptminoren erst ab 3. Ordnung betrachten (siehe auch nachfolgendes Beispiel).

Sei U ⊂ ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} offen. Die Funktion f : U → → R {\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} } sei zweimal stetig differenzierbar und sie habe in a ∈ ∈ U {\displaystyle a\in U} ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung F = 0 {\displaystyle F=0} , wobei F = ( F 1 , … … , F m ) : U → → R m {\displaystyle F=(F_{1},\ldots ,\,F_{m}):U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} mit m < n {\displaystyle m<n} . Sei nun

L ( λ λ 1 , … … , λ λ m , x ) := f ( x ) − − ∑ ∑ i = 1 m λ λ i F i ( x ) {\displaystyle L(\lambda _{1},\ldots ,\,\lambda _{m},\,x):=f(x)-\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}F_{i}(x)}

die Lagrange-Funktion für x ∈ ∈ U {\displaystyle x\in U} mit m {\displaystyle m} Hilfsgrößen λ λ 1 , … … , λ λ m {\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}} , die auch Lagrange-Multiplikatoren oder Lagrange-Parameter genannt werden. Die geränderte Hessesche Matrix ist dann die ( n + m ) × × ( n + m ) {\displaystyle (n+m)\times (n+m)} -Matrix

H ¯ ¯ ⁡ ⁡ ( λ λ 1 , … … , λ λ m , a ) := ( 0 … … 0 − − ∂ ∂ F 1 ∂ ∂ x 1 … … − − ∂ ∂ F 1 ∂ ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 … … 0 − − ∂ ∂ F m ∂ ∂ x 1 … … − − ∂ ∂ F m ∂ ∂ x n − − ∂ ∂ F 1 ∂ ∂ x 1 … … − − ∂ ∂ F m ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ 2 L ∂ ∂ x 1 2 … … ∂ ∂ 2 L ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ x n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ − − ∂ ∂ F 1 ∂ ∂ x n … … − − ∂ ∂ F m ∂ ∂ x n ∂ ∂ 2 L ∂ ∂ x n ∂ ∂ x 1 … … ∂ ∂ 2 L ∂ ∂ x n 2 ) ( λ λ 1 , … … , λ λ m , a ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\overline {H}} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m},\,a)&:=\left({\begin{array}{cccccc}0&\ldots &0&-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\ldots &0&-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\\-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}^{2}}}\end{array}}\right)(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m},\,a).\end{aligned}}}

Die auffallenden Nullen oben links sind die zweiten Ableitungen von L {\displaystyle L} nach den Hilfsgrößen λ λ 1 , … … , λ λ m {\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}} ; diese zweiten Ableitungen verschwinden aber nach Konstruktion.

• Form (2-dimensionaler Fall)

• Weblinks

Für eine zweidimensionale Funktion mit einer Nebenbedingung hat die geränderte Hesse-Matrix folgende Gestalt.

Sei L ( x 1 , x 2 ) = f ( x 1 , x 2 ) + λ λ g ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle L(x_{1},x_{2})=f(x_{1},x_{2})+\lambda g(x_{1},x_{2})} die Lagrangefunktion, wobei f : R 2 → → R , ( x 1 , x 2 ) ↦ ↦ f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,(x_{1},x_{2})\mapsto f(x_{1},x_{2})} eine beliebige zweidimensionale Funktion und g ( x 1 , x 2 ) = 0 {\displaystyle g(x_{1},x_{2})=0\,} die Nebenbedingung ist, unter welcher optimiert werden soll.

H ¯ ¯ ⁡ ⁡ ( x ) = ( 0 g x 1 g x 2 g x 1 L x 1 x 1 L x 1 x 2 g x 2 L x 2 x 1 L x 2 x 2 ) = ( 0 ∂ ∂ g ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ g ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ g ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ 2 L ∂ ∂ x 1 2 ∂ ∂ 2 L ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ g ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ 2 L ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ 2 L ∂ ∂ x 2 2 ) {\displaystyle \operatorname {\bar {H}} (x)={\begin{pmatrix}0&g_{x1}&g_{x2}\\g_{x1}&L_{x1x1}&L_{x1x2}\\g_{x2}&L_{x2x1}&L_{x2x2}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}\\[1.5ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\\[1.5ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}^{2}}}\\\end{pmatrix}}}

Die 0 {\displaystyle 0} auf der Position oben links in der Matrix kommt durch H ¯ ¯ 11 = ∂ ∂ 2 L ∂ ∂ λ λ 2 {\displaystyle \operatorname {\bar {H}} _{11}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda ^{2}}}} zustande.

Eine stationäre Stelle x 0 {\displaystyle x_{0}} von f {\displaystyle f} ist dann unter der Nebenbedingung g {\displaystyle g}

• lokales Maximum, wenn det H ¯ ¯ ( x 0 ) > 0 {\displaystyle \det {\bar {H}}(x_{0})>0}

• lokales Minimum, wenn det H ¯ ¯ ( x 0 ) < 0 {\displaystyle \det {\bar {H}}(x_{0})<0}

• unentscheidbar, wenn det H ¯ ¯ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle \det {\bar {H}}(x_{0})=0}

• Geränderte Hesse-Matrix. Wirtschaftsuniversität Wien.

• Robert Koschig: Das Optimierungsverfahren mit Lagrange-Multiplikatoren.